Especialidad de Matemáticas en Geometría

Especialidad de Matemáticas en Geometría

Definición de geometría

La geometría es una sección de la matemática que se ocupa de estudiar las características y las medidas de una figura en un plano o en un lugar. Para representar diversos puntos de la verdad, la geometría apela a los llamados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se incorporan respetando normas y que conforman cadenas, las cuales además tienen la posibilidad de vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos de vista, entre otras.

La geometría es una disciplina científica de gran historia.

Una ciencia de gran antigüedad

Se debe dejar patente que la geometría es una de las ciencias más viejas que hay actualmente, puesto que sus inicios ya se han predeterminado en lo cual era el Antiguo Egipto. De esta forma, debido a los trabajos de relevantes figuras como Heródoto o Euclides, hemos sabido que a partir de tiempos inmemoriales aquella estaba bastante elaborada, puesto que era esencial para el análisis de zonas, volúmenes y longitudes.

Asimismo, tampoco tenemos la posibilidad de pasar por elevado que una de las figuras históricas que más han contribuido al desarrollo de esta área científica es el matemático, filósofo y físico francés René Descartes. Y es que este propuso el desarrollo de la geometría de una manera en la que las diversas figuras podían ser representadas por medio de ecuaciones.

Geometría y matemáticas

Esta disciplina se convierte en una de las claves primordiales de lo cual es la asignatura de Matemáticas en los diversos centros profesores y en los diversos niveles educativos. De esta forma, tanto en Primaria como en Secundaria, ejemplificando, se desarrollan lecciones que giran alrededor de aquella.

En específico, en medio de las unidades que versan sobre esa materia resaltan cada una de esas que permiten que el estudiante en cuestión aprenda todos los conocimientos necesarios sobre los recursos del plano, los polígonos, los triángulos, las traslaciones y giros, la analogía o las superficies y volúmenes de los cuerpos geométricos.

Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales.

De esta forma, ejemplificando, en el momento de desarrollar esta última lección citada, los alumnos trabajarán sobre lo cual es el prisma, el cilindro, el tetraedro, la esfera, el cubo o el tronco de la pirámide.

La geometría parte de axiomas (las proposiciones que se delegan de relacionar los conceptos); dichos axiomas proporcionan sitio a teorías que, por medio de aparatos de esta disciplina como el transportador o el compás, tienen la posibilidad de comprobarse o refutarse.

Las diferentes corrientes

Entre las diversas corrientes de la geometría, predomina la geometría algorítmica, que usa el álgebra y sus cálculos para solucionar inconvenientes vinculados a la expansión.

La geometría detallada, por su lado, se dedica a resolver los inconvenientes del espacio por medio de operaciones que se desarrollan en un plano donde permanecen representadas las figuras de los firmes.

La geometría analítica se ocupa de estudiar las figuras desde un sistema de coordenadas y de las metodologías propias del estudio matemático.

Al final, tenemos la posibilidad de agrupar 3 ramas de la geometría con diferentes propiedades y alcances. La geometría proyectiva se ocupa de las proyecciones de las figuras sobre un plano; la geometría del espacio se concentra en las figuras cuyos puntos de vista no pertenecen todos al mismo plano; en lo que la geometría plana estima las figuras que poseen la integridad de sus aspectos en un plano.

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana,​ euclídea o parabólica​ es el análisis de las características geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las características geométricas del plano parecido euclídeo real y del espacio análogo euclídeo tridimensional real por medio del procedimiento sintético, introduciendo los 5 postulados de Euclides.

Además, es común (abusando del lenguaje) mencionar que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, o sea, si en esa geometría se verifica el quinto postulado de Euclides. Esta designación está cada vez más en desuso, gracias a la pérdida de interés que va teniendo el asunto de la probabilidad de dibujar paralelas a una recta a partir de un punto exterior a la misma.

Algunas veces los matemáticos utilizan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para abarcar geometrías de magnitudes mejores con características semejantes. No obstante, a menudo son sinónimos de geometría plana o de geometría típica.

Interpretaciones

• A partir de un criterio historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los recursos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron luego —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—.
• Conforme con la oposición entre procedimiento sintético y procedimiento algebraico-analítico, la geometría euclidiana podría ser, claramente, el análisis por procedimientos sintéticos de los invariantes de un lugar vectorial real de magnitud 3 dotados de un producto escalar bastante concreto y preciso (él muchas veces nombrado «producto escalar habitual»).
• Conforme con la filosofía del programa de Erlangen (propuesto por el matemático Félix Klein), la geometría euclídea podría ser el análisis de los invariantes de las isometrías en un lugar euclídeo (espacio vectorial real de magnitud finita, dotado de un producto escalar), al aplicarles transformaciones ortogonales.​

Geometría del plano euclídeo

La geometría plana o geometría del plano euclídeo es una sección de la geometría que trata de esos recursos cuyos puntos de vista permanecen contenidos en un plano euclídeo. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, puesto que esta estudia los recursos geométricos desde 2 magnitudes.

A partir de un criterio más general, el plano euclídeo se caracteriza por ser una diversidad riemanniana de magnitud 2 de curvatura nula y sencillamente conexa.

Axiomas

La presentación clásica de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático, en el cual todos los teoremas («declaraciones verdaderas») derivan de un diminuto número de axiomas.​ Un sistema axiomático es ese que, desde un cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas como axiomas) y por medio de deducciones lógicas, crea novedosas proposiciones cuyo costo de verdad es además lógico.

Postulados

Euclides propuso 5 postulados en su sistema:

1. Dados 2 aspectos se puede dibujar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
3. Se puede dibujar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta corta a otras 2 conformando, a un mismo lado de la secante, 2 ángulos internos agudos, aquellas 2 rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el cual permanecen estos ángulos (ver quinto postulado de Euclides).

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, ha sido reformulado como:

Este postulado parece menos obvio que los demás 4, varios geómetras trataron de deducirlo de los anteriores. Una vez que trataron de reducirlo al ilógico negándolo, surgieron 2 novedosas geometrías: la elíptica, además llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ni una recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (dada una recta, hay algunas rectas paralelas que pasan por un mismo punto exterior a esta). Pues las dos geometrías son consistentes, se infiere que el quinto postulado es, en impacto, un postulado que no puede deducirse de los demás 4. Estas geometrías, en las que el quinto postulado no es válido, se denominan geometrías no euclidianas.

Limitaciones

Una limitación del trabajo de Euclides ha sido no reconocer la probabilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, o sea, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó desapercibida la probabilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolái Lobachevski, Gauss y Riemann.

Si bien en el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un aparato matemáticamente interesante e inclusive con cierto interés a gusto, sin embargo, reducido, como es la situación de la trigonometría esférica utilizada en astronomía, en cierto modo se aceptó que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por consiguiente, las geometrías no euclidianas eran tan solamente un artificio abstracto eficaz para ciertos inconvenientes, sin embargo, en modo alguno descripciones realistas de todo el mundo. No obstante, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que en medio de las necesidades de la física actualizada permanecen las geometrías no euclidianas para explicar, ejemplificando, el espacio-tiempo curvo.

Alguno de los errores de Euclides ha sido omitir por lo menos 2 postulados más:

• 2 circunferencias, cuyos centros se encuentren separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en 2 puntos de vista (Euclides lo usa en su primera construcción).
• 2 triángulos con 2 lados equivalentes y los ángulos entendidos además equivalentes, son congruentes (afirmación equivalente al criterio de desplazamiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin conceptualizar explícitamente).